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用内切球探索圆锥曲线的性质

知识点总结

知识点总结

      一、球的切线与切平面

      1.球的切线定义:与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.

      2.球的切线长定义及性质:如果球的切线通过一点P,切点为A,那么就称线段PA的长为从点P引的球的切线长.从球外任何一点引该球的所有切线长相等.

      3.球的切平面的概念及性质:与球只有唯一公共点平面叫做球的切平面.一个球的切平面,垂直于过切点的半径.

      事实上,如果在切平面内,过切点任意作两条直线,则这两条直线都是球的切线,根据球的切线的性质,这两条直线垂直于过切点的半径,所以切平面垂直于过切点的半径.

      二、圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线

      1.在立体几何中,同样,若一个球与多面体的各个面都相切,那么该球就叫做多面体的内切球.

      2.圆柱面定义:一条直线绕着与它平行的一条直线旋转一周,形成的曲面叫做圆柱面.

      3.切点圆:圆柱面的每一条母线都与球相切,所有点的集合是半径为定长的圆,此圆叫做点切圆.

      4.圆柱面的内切球:如果圆柱面与球相切,该球叫做圆柱面的内切球.

      5.圆柱面的直截面:如果平面δ与圆柱面的轴线垂直,则称δ平面为圆柱面的直截面.

      6.利用特征性质定义椭圆:在一个平面内,到两个定点距离和等于定长(大于两定点的距离)的点的轨迹,叫做椭圆.

常见考法

      1.了解球的切线的定义,切线长性质以及球的切平面的概念.

      2.利用球的切线和切平面性质进行简单的证明.

      3.理解和掌握球的切线、切平面定义和性质,并利用球的切线、切平面定理进行证明.

      4.了解母线、轴线的概念.

      5.掌握切点球、圆柱面内切球和直截面的概念.

      6.圆柱面的切点圆、内切球和直截线的定义.

      7.利用圆柱面内切球知识探求圆锥曲线特征性质.

误区提醒

      1.对平行射影的性质的理解错误(1)直线或线段的平行射影仍是直线或线段;(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线;(3)平行于投射面的线段,它的射影与这条线段平行或相等.

      2.球的切线与切平面的不同.与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线.与球只有唯一公共点平面叫做球的切平面.一个球的切平面,球的切平面垂直于过切点的半径.

      3.圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线的区别.如果圆柱面与球相切,该球叫做圆柱面的内切球.圆柱面的平面截线是圆、椭圆、双曲线或抛物线.

【典型例题】

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